【統計】ヨンキー検定（傾向性検定）

傾向性検定（ヨンキー検定）について。

【目次】

 Jonckheere-Terpstra trend test（ヨンクヒール-タプストラ検定、またはヨンキー検定）は目的変数が連続値の時に使用できる傾向性検定。
目的変数が割合の場合は Cochran-Armitage trend test（コクラン-アミテージ検定）を使用。 

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帰無仮説、対立仮設

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• 帰無仮説
• 対立仮設

ヨンキー検定は中央値を用いるノンパラメトリックな手法です。
対立仮説が「＜」ではなく「＜＝」であるため、A＝B＜＝CでもA＜＝B＝Cでも有意になる可能性があります。

計算式等

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JT統計量は、水準間の総当たり戦（ただし、i < jの組み合わせのみ）。勝ち数と引き分け数（0.5倍）を総和したものが統計量となる。

ただし、タイ（同一順位）を考慮して、分散を次のとおり算出する方法がある。
SAS社のアルゴリズムはこちらのよう（ホームページ見る限り）。

A～Cにある はデータの頻度の総和。
例えば {10,10,11,12,16} であれば、 {, , , } となる。この例では10が２つあるので、 になるのが特徴。

計算例

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簡単なデータを使って手順を確認。
今回は簡単のため、グループ1～3に４つずつ、計12個のデータ。

  g1{11, 13, 10, 11}
  g2{15, 12, 10, 11}
  g3{20, 20, 16, 19}

先にExcelにまとめたものを掲載。 

JT統計量：

グループの順序が i < j の組み合わせのみで大小比較するため、今回の３グループ（g1、g2、g3）では、g1 vs. g2（）、g1 vs. g3（）、g2 vs. g3（） の３つが比較対象。
例えば のg1{11} vs. g2{15,12,10,11} では、{勝ち、勝ち、負け、引き分け}になるため、1+1+0+1×0.5=2.5となる（図Excel F2:H6）。
これら個々の勝敗を足し合わせたものが JT統計量（図Excel Q9）。
2.5 + 1 + 3.5 + 2.5 + 4 + 4+ 4 + 4 + 4 + 4+ 4 + 4 = 41.5

タイの補正：

データ全体で、10に２つ、11に３つ、20に２つの同値がある。
タイを補正する場合、分散の式中の が役割を担う（図Excel J9:N16、Q12:Q14）。
なお、図のとおり、タイがない値は d(d-1) = 1×(1-1) = 0 でゼロになるため、タイのみ考慮されることが分かる。

期待値・分散、z値・p値：

公式のとおり計算を行うと次の結果が得られる（図Excel Q11:R18）。

今回の架空データでは、TRT01P=1→2→3の順で観測値（AVAL）が増加する傾向があった（p for trend < 0.01）と結論付けられそう（タイ補正の有無問わず）。

Excelの関数の中身はこちら。

Rでの実行：
PMCMRplusとclinfunの２パッケージを見つけたのでこれらを試す。

> ADS1 <- data.frame(AVAL=c(11,13,10,11,15,12,10,11,20,20,16,19)
+                    , TRT01PN=c(1,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3))
> ADS1$TRT01PF <- factor(ADS1$TRT01PN, levels = c("1","2","3"))
> 
> #-- PMCMRplu タイ補正あり
> library(PMCMRplus)
> jonckheereTest(ADS1$AVAL, ADS1$TRT01PF, alternative="greater")

	Jonckheere-Terpstra test

data:  ADS1$AVAL and ADS1$TRT01PF
z = 2.5915, p-value = 0.004778
alternative hypothesis: greater
sample estimates:
  JT 
41.5 

 警告メッセージ: 
 jonckheereTest.default(ADS1$AVAL, ADS1$TRT01PF, alternative = "greater") で: 
  Ties are present. Jonckheere z was corrected for ties.
  
> #-- clinfun タイ補正なし
> library(clinfun)
> jonckheere.test(ADS1$AVAL, ADS1$TRT01PN, alternative="increasing")

	Jonckheere-Terpstra test

data:  
JT = 41.5, p-value = 0.005207
alternative hypothesis: increasing

 警告メッセージ: 
 jonckheere.test(ADS1$AVAL, ADS1$TRT01PN, alternative = "increasing") で: 
  Sample size > 100 or data with ties 
 p-value based on normal approximation. Specify nperm for permutation p-value

両パッケージともJT統計量=41.5で同値だが、
PMCMRplusはタイ補正ありの p=0.004778、
clinfunはタイ補正なしの p=0.005207 と一致（タイがない場合は、p値は同じ）。

SASでの実行：
タイ補正ありの結果が得られる。増減を見たいので片側検定の結果を見る。

data ads;
  do AVAL=11,13,10,11; TRT01PN=1; output; end;
  do AVAL=15,12,10,11; TRT01PN=2; output; end;
  do AVAL=20,20,16,19; TRT01PN=3; output; end;
run;
proc sort data=ads: by TRT01PN AVAL; run;
proc freq data=ads;
  tables TRT01PN * AVAL / jt;
  exact jt;
  output out=OutputDS jt;
run;

プログラムコード

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■ Rのコード

library(PMCMRplus) #-- タイ補正あり
jonckheereTest(ADS1$AVAL, ADS1$TRT01PF, alternative=c("greater","less"))

library(clinfun) #-- タイ補正なし
jonckheere.test(ADS1$AVAL, ADS1$TRT01PN, alternative=c("decreasing","increasing"))

■ SASのコード

proc freq data=[InputDS];
 tables GROUP * AVAL / jt; /* 群*測定値の順序にする。*/
 exact jt;                 /* 正確検定する場合設定。*/
 output out=[OutputDS] jt; /* _JT_,Z_JTを取得。XPR_JTは正確確率(右側)*/
run;

■ Pythonのコード 

整備中

ヨンキー検定とケンドールの順位相関

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ヨンキー検定はケンドールの順位相関と同じ考え方のよう。
実行してみると、z値、p値ともにタイ補正ありの式と同値だった。 

■ ケンドールの順位相関

> cor.test(ADS1$TRT01PN, ADS1$AVAL, method="kendall", alternative="greater")

	Kendall's rank correlation tau

data:  ADS1$TRT01PN and ADS1$AVAL
z = 2.5915, p-value = 0.004778
alternative hypothesis: true tau is greater than 0
sample estimates:
      tau 
0.6468186 

 警告メッセージ: 
 cor.test.default(ADS1$TRT01PN, ADS1$AVAL, method = "kendall",  で: 
   タイのため正確な p 値を計算することができません 

参考

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Tao Xu, Jonckheere-Terpstra test

Programming Documentetion, SAS

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