【統計】時系列分析（自己相関、自己共分散）

自己相関、自己共分散について、視覚的に分かるようにメモ。

【目次】

計算式
ノート
参考

自己相関、「自己」とつくので、ちょっと分かりづらい。

計算式

■ 自己共分散
$\quad \gamma\left( s \right)=Cov \left(x_{t},\ x_{t-s} \right) =\dfrac{1}{N} \sum \{ \left(x_{t} - \overline{x} \right) \left(x_{t-s} - \overline{x} \right) \}$

■ 自己相関
$\quad \rho\left( s \right) = \dfrac{\gamma\left( s \right)}{\gamma\left( 0 \right)} = \dfrac{Cov \left(x_{t},\ x_{t-s} \right)}{Cov \left(x_{t},\ x_{t} \right)} = \dfrac{Cov \left(x_{t},\ x_{t-s} \right)}{Var \left(x_{t} \right) }$
$\qquad\quad = \dfrac{\dfrac{1}{N}\sum \{ \left(x_{t} - \overline{x} \right) \left(x_{t-s} - \overline{x} \right) \}}{\dfrac{1}{N}\sum \left(x_{t} - \overline{x} \right)^{2}} = \dfrac{\sum \{ \left(x_{t} - \overline{x} \right) \left(x_{t-s} - \overline{x} \right) \}}{\sum \left(x_{t} - \overline{x} \right)^{2}}$

　※t=時期、s=ラグ

ノート

サンプルデータで動きを見てみる。
Rで準備したデータ。３期で１サイクルの何らかのデータ。特に値に意味はない。

ads <- data.frame(
  AVAL=c(10,8,6,10,7,5,9,8,5,10,8,5)
)

f:id:cochineal19:20210227222714p:plain:w300

自己相関と自己共分散は acf 関数 で計算できる。
plot=FALSEにするとコンソールに自己相関などの値を出してくれ、
plot=TRUEにするとコレログラムを描画してくれる。

acf(ads, plot=F, type="correlation")  #-- 自己相関
acf(ads, plot=F, type="covariance")  #-- 自己共分散
#-- 自己偏相関もある（type="partial"）

plot=FASEで出した結果。

> acf(ads, plot=F, type="correlation")
Autocorrelations of series ‘ads’, by lag
     0      1      2      3      4      5      6      7      8      9     10 
 1.000 -0.322 -0.466  0.695 -0.208 -0.436  0.465 -0.032 -0.283  0.235 -0.002 

> acf(ads, plot=F, type="covariance")
Autocovariances of series ‘ads’, by lag
       0        1        2        3        4        5        6        7        8        9       10 
 3.57639 -1.15336 -1.66782  2.48438 -0.74537 -1.55845  1.66319 -0.11516 -1.01157  0.84201 -0.00579

plot=TRUEで出したコレログラム（自己相関のみ掲載）。
f:id:cochineal19:20210227185549p:plain:w300

これらは時期 t とそこから s 期分ずらした時期 t-s（LAG s）の AVAL について相関や共分散を出している。
つまり、過去のどの時点と関係性があるかを示すことができる。
今回の架空データは３期で１サイクルのため、特に LAG 3 に中程度以上の相関がみられる。
LAG 0 は現時点と現時点を見比べるため、当然ながら自己相関＝１になる。
これを見ることで周期性を探れる。

Excelで計算方法を見てみる。
f:id:cochineal19:20210228004053p:plain 緑列は基本情報。
timeは時間単位、AVALは本記事の最初に示したもの。
偏差と偏差平方は、例えば、time=1 では AVAL=10、AVALの平均≒7.58 のため、
偏差=(10 - 7.58)=2.42、偏差平方=2.42²≒5.84 になる。

黄色列は偏差積。
例えば、LAG 1 の time=2 は１期前の time=1 との偏差積をとり、0.42×2.42≒1.007 になる。
LAG 2 の time=3 は、２時期ずらして time=1 との偏差積をとり、(-1.6)×2.42≒-3.826 となる。

最後に青列は、自己共分散と自己相関。
黄色列の LAG s をそれぞれ総和（偏差積和）して、N=12 で割ったものが自己共分散。
LAG0 は分散 Var[AVAL]≒3.5764 になる。
そして、LAG s の偏差積和 ÷ AVALの偏差平方和、もしくは LAG s の共分散 ÷ 分散 Var[AVAL] とすれば、LAG s の自己相関になる。

今回はここまで。

参考

統計学（出版：東京図書）, 日本統計学会編