【統計】生存時間解析　ハザード関数、生存関数などの関係性

統計

生存時間解析ではハザード関数、生存関数など色々な関数が出てくるので関係性をメモ。頭の整理。

離散値の場合

確率密度関数

\quad f\left(t\right)=Pr\left(T=t\right)

死亡関数

\quad F\left(t\right)=\sum ^{t} _{T=0}f\left(t\right)

生存関数

\quad S\left(t\right)=\sum ^{T} _{t＜T}f\left(t\right)=1-F\left(t\right)

ハザード関数

\quad h\left(t\right)=Pr\left(T=t \ | \ T \geqq t \right)=\dfrac{f\left(t\right)}{S\left(t-1\right)}

累積ハザード関数

\quad H\left(t\right)=\sum ^{t} _{T=0}h\left(t\right)


（イメージ図）
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* 縦軸が確率密度関数 f (T)、横軸が時間 T
* 死亡関数 F(t)＝時点ｔまでにイベント発生する確率
* 生存関数 S(t)＝時点ｔ以降も生存している（イベント発生しない）確率。
* ハザード関数 H(t)＝時点ｔの直前まで生存している集団（リスク集団、Number At Risk）のうち、時点ｔでイベント発生する確率


連続値の場合

確率密度関数

\quad f\left(t\right)=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}\dfrac{\Pr \left( t \leqq T ＜ t+\Delta t\right) }{\Delta t}

　※Δt に依存するため、Δt で割って標準化する。

死亡関数

\quad F\left(t\right)=\int _{0}^{t}f\left( t\right) dt

生存関数

\quad S\left(t\right)=\int _{t}^{\infty }f\left( t\right) dt=1-F\left(t\right)

ハザード関数

\quad h\left(t\right)=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}\dfrac{\Pr \left( t \leqq T ＜ t+\Delta t \ | \ T \geqq t \right) }{\Delta t}=\dfrac{f\left(t\right)}{S\left(t\right)}

累積ハザード関数

\quad H\left(t\right)=\int _{0}^{t}h\left( t\right) dt


（イメージ図）
f:id:cochineal19:20210328135917p:plain:w300

打ち切りのあるデータの推定量

打ち切りがなければ、死亡関数から累積生存率を推定できる。

\quad \widehat{S} \left(t\right)=1 − F\left(t\right)

打ち切りがあれば、カプランマイヤー法による推定（条件付き確率）。

\quad \widehat{S} \left( t \right) = \prod_{t_{i} ＜ t} \left( 1 - \dfrac{d_{i}}{n_{i}} \right)


また、累積生存率から累積ハザード関数を推定できる。

\quad \widehat{H}\left( t\right) = -\log\ \widehat{S}\left( t \right) =\sum \dfrac{d_{i}}{n_{i}}

\quad \log \widehat{H}\left( t\right) = \log\left(-\log\ \widehat{S}\left( t \right)\right)


参考

http://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~wang/suvival.pdf
Ｒと生存時間分析(1)
生存時間分析の基礎１（生存時間分析とは・生存時間分析のデータ形式）｜Maxwell｜note

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