【統計】一般化線形混合モデル(GLMM)

一般化線形混合モデル (Generalized Linear Mixed Model, GLMM) の備忘録。
一般化線形モデル (Generalized Linear Model, GLM) との違いだったり、SAS や R での使い方だったり。


GLM と GLMM


GLMでは固定効果しか扱えなかったが、GLMMではランダム効果を扱えるようになった。
ランダム効果は次のようなもの。ランダム効果を投入することで、測定データ間の関係を細かく検討できるようになった。

  • 被験者によるズレ(同じ痛みでも人により反応が違う)
  • 評価者によるズレ(甘い採点/辛い採点)
  • 施設・地域によるズレ(組織・地域的な性格・性質)

GLM


■ モデル、期待値・分散

 \quad \bf{Y} = \bf{X' \beta} + \bf{\varepsilon}

 \quad E \left( \bf{Y} \right) = \bf{X' \beta}

 \quad V \left( \bf{Y} \right) = V \left( \bf{\varepsilon} \right) = \bf{R}

GLMM


■ モデル、期待値・分散

 \quad \bf{Y} = \bf{X' \beta} + \bf{Z' \gamma} + \bf{\varepsilon}

 \quad E \left( \bf{Y} \right) = \bf{X' \beta}

 \quad V \left( \bf{Y} \right) = \bf{Z \ V \left( \bf{\gamma} \right) \ Z' } + V \left( \bf{\varepsilon} \right) = \bf{Z \ G \ Z' } + \bf{R}


式をみると、GLMの分散にランダム効果に関わる項(Z' G Z)が加わった形となっている。

SAS (proc mixed)


SASの mixed プロシジャでの指定の仕方。固定効果、ランダム効果、反復効果をそれぞれ Model、Random、Repeatedステートメントで指定する。

f:id:cochineal19:20211010162011p:plain:w350

f:id:cochineal19:20211010164603p:plain:w600

モデルにランダム効果や反復効果が要らなければ、そのステートメント書かなくて良い。

ランダム効果と反復効果の分散共分散構造を指定したい場合、各ステートメントのオプションで指定できる。詳細はプロシジャガイドや参考資料を参照。
オプションに g , r を指定すると、それぞれ係数γの分散共分散行列Gと誤差εの分散共分散行列Rがアウトプットされる。

ランダム効果として、ランダム切片を入れたければ intercept と書く。ランダム傾きを入れたければ任意の変数を指定する。

推定方法のデフォルトは制限付き最尤法 (REstricted Maximum Likelihood, REML) で、最尤法 (Maximum Likelihood, ML) への切り替えもできる。

R (lmer, nlme)


r の lmer パッケージでランダム効果を加えたモデルを作成できる。

library(tidyverse)
library(lme4)
library(lmerTest)
 
#-- data
ADS <- sleepstudy
 
#-- model fit
(mod1 <- lmer(Reaction ~ Days + (1 | Subject), ADS)) #-- ランダム切片
 
(mod2 <- lmer(Reaction ~ Days + (1 + Days | Subject), ADS)) #-- ランダム切片+ランダム傾き
(mod2 <- lmer(Reaction ~ Days + (Days | Subject), ADS)) #-- 別記法
 
#-- random effect
lme4::ranef(mod1) 
 
#-- fixed effect
lme4::fixef(mod1)
summary(mod1)


nlme パッケージでも対応できるみたい。ここは未勉強なので使い方の詳細はよく分からない。

参考


SAS Help Center
http://www.sigmath.es.osaka-u.ac.jp/~kano/research/application/gasshuku02/sas1/MIXED.pdf
https://content.sph.harvard.edu/fitzmaur/ala/lectures.pdf
https://www.mwsug.org/proceedings/2007/stats/MWSUG-2007-S02.pdf
Introduction to SAS® Proc Mixed - ppt download
統計手法アラカルト Mixed Model ~混合モデル~ - ppt download
第4章 MIXED Model 4.1 MIXED Model とは 4.2 反復測定データの分析1 分割法タイプのデータ - ppt download

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