One Way Repeated Measures ANOVA（One Way RMANOVA、一元配置反復測定分散分析）のメモ。
対応のある平均の差の検定（３時点以上）。

【目次】

帰無仮説、対立仮設

・帰無仮説 $H_{0}:$ すべての時点に差がない（ $\overline{x}_{time_{1}}=\overline{x}_{time_{2}}=・・・=\overline{x}_{time_{k}}$ ）

・対立仮設 $H_{1}:$ 何れかの時点に差がある

計算式等

■ 分散分析表

変動因	平方和	自由度	平均平方	F値（F比）
Time	$S_{t}$	$f_{t}=a-1$	$V_{t}=\dfrac{S_{t}}{f_{t}}$	$F_{t}=\dfrac{V_{t}}{V_{e}}$
Subject	$S_{s}$	$f_{s}=b-1$	$V_{s}=\dfrac{S_{s}}{f_{s}}$	$F_{s}=\dfrac{V_{s}}{V_{e}}$
残差e	$S_{e}$	$f_{e}=\left(a-1\right)\left(b-1\right)$	$V_{e}=\dfrac{S_{e}}{f_{e}}$
全体T	$S_{T}$	$f_{T}=N-1$

■ 平方和

$S_{T} = \sum _{i=1} ^{N} \left( y_{i} - \bar{\bar{y}} \right)^{2}$	各観測値と総平均の偏差平方和
$S_{s} = \sum _{j=1} ^{a} n_{j} \left( \overline{y_{j}} - \bar{\bar{y}} \right)^{2}$	Subject別平均と総平均の偏差平方和
$S_{t} = \sum _{k=1} ^{b} n_{k} \left( \overline{y_{k}} - \bar{\bar{y}} \right)^{2}$	Time別平均と総平均の偏差平方和
$S_{e} = S_{T} - S_{t} - S_{s}$

※ $\bar{\bar{y}}$ =全体の平均値（総平均）

架空データで計算。4時点で右肩上がりになるデータ。
分散分析表を作成し、F検定を行う。

Rで検算。今回の架空データはTimeに有意差が見られる。

> ads <- data.frame(
+   Subject=c(101,101,101,101,102,102,102,102,103,103,103,103,104,104,104,104,105,105,105,105)
+   ,Time=c(0,1,2,3,0,1,2,3,0,1,2,3,0,1,2,3,0,1,2,3)
+   ,AVAL=c(10,12,14,15,11,12,13,14,8,10,12,13,10,15,20,21,13,13,15,16)
+ )
> ads$Subject <- as.factor(ads$Subject)
> ads$Time    <- as.factor(ads$Time )
> model <- aov(AVAL ~ Time  + Error(Subject/Time), data=ads)
> summary(model)

Error: Subject
          Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
Residuals  4   74.3   18.57               
 
Error: Subject:Time
          Df Sum Sq Mean Sq F value   Pr(>F)    
Time       3  88.55  29.517   11.93 0.000652 ***
Residuals 12  29.70   2.475                     
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

プログラムコード

model <- aov(AVAL ~ Time  + Error(Subject/Time), data=ads)
summary(model)

SAS

proc glm data=ADS;
    class Subject;
    model Pre Visit1 - Visit3 = / nouni;
    repeated Subject ;
run;
 
#-- この書き方でもいける？
proc glm data=ADS;
    class Time Subject;
    model AVAL = Time Subject ;
    repeated Time ;
run;