Two Way Repeated Measures ANOVA（Two Way RMANOVA、二元配置反復測定分散分析）のメモ。
実解析ではMixedモデルを使う。学習のためのメモ。

【目次】

帰無仮説、対立仮設

・帰無仮説 $H_{0}:$ 要因により平均値に差がない

・対立仮設 $H_{1}:$ 要因により平均値に差がある

計算式等

■ 分散分析表

要因		平方和	自由度	平均平方	F比
被験者間	Group	$S_{g}$	$f_{g} = n_{g} - 1$	$V_{g}=\dfrac{S_{g}}{f_{g}}$	$F_{g}=\dfrac{V_{g}}{V_{e1}}$
被験者間	残差e	$S_{e1}$	$f_{e1} = n_{s} - n_{g}$	$V_{e1}=\dfrac{S_{e1}}{f_{e1}}$	-
被験者内	Time	$S_{t}$	$f_{t} = n_{t} - 1$	$V_{t}=\dfrac{S_{t}}{f_{t}}$	$F_{t}=\dfrac{V_{t}}{V_{e2}}$
	Group*time	$S_{g*t}$	$f_{g*t} = \left(n_{g} - 1\right)\left(n_{t} - 1\right)$	$V_{gt}=\dfrac{S_{gt}}{f_{g*t}}$	$F_{gt}=\dfrac{V_{gt}}{V_{e2}}$
	残差e	$S_{e2}$	$f_{e2} = N - n_{t} - n_{g*t}$	$V_{e2}=\dfrac{S_{e2}}{f_{e2}}$	-
Total		$S_{T}$	$f_{T} = N-1$	-	-
Subject		$S_{s}$	$f_{s} = n_{s} - 1$	-	-

■ 平方和

$S_{T} = \sum _{i} ^{N} \left( y_{i} - \bar{\bar{y}} \right)^{2}$	各観測値と総平均の偏差平方和
$S_{s} = \sum _{j} ^{a} n_{j} \left( \overline{y_{j}} - \bar{\bar{y}} \right)^{2}$	Subject別平均と総平均の偏差平方和
$S_{g} = \sum _{k} ^{b} n_{k} \left( \overline{y_{k}} - \bar{\bar{y}} \right)^{2}$	Group別平均と総平均の偏差平方和
$S_{t} = \sum _{l} ^{c} n_{l} \left( \overline{y_{l}} - \bar{\bar{y}} \right)^{2}$	Time別平均と総平均の偏差平方和
$S_{g*t} = \sum_{m}^{d} \sum_{k}^{b} \sum_{l}^{c} n_{m} \{ \overline{y_{m}} - \left(\overline{y_{k}} + \overline{y_{l}} - \bar{\bar{y}} \right) \}^{2}$	Group*Time別平均、Group別平均、Time別平均と総平均の偏差平方和
$S_{e1} = S_{s} - S_{g}$
$S_{e2} = S_{T} - S_{s} - S_{t} - S_{g*t}$

※ $\bar{\bar{y}}$ =全体の平均値（総平均）

架空データで計算。4時点で右肩上がりになるデータ。
分散分析表を作り、F検定を行う。

今回の架空データは群（Group）、時間（Time）、群と時間の要因間（交互作用）がすべて有意。群と時間が互いに影響を与えている。
↓交互作用ありの解釈のメモ。
【統計】二元配置分散分析（Two-way ANOVA） - こちにぃるの日記

Rで検算。

> ads <- data.frame(
+   Group=c(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2)
+   ,Subject=c(101,101,101,101,102,102,102,102,103,103,103,103,104,104,104,104,105,105,105,105,106,106,106,106)
+   ,Time=c(0,1,2,3,0,1,2,3,0,1,2,3,0,1,2,3,0,1,2,3,0,1,2,3)
+   ,AVAL=c(10,12,14,15,11,12,13,14,8,10,12,13,10,15,20,21,12,13,15,18,10,12,16,20)
+ )
> ads$Group   <- as.factor(ads$Group)
> ads$Subject <- as.factor(ads$Subject)
> ads$Time    <- as.factor(ads$Time )
> model <- aov(AVAL ~ Group*Time + Error(Subject/(Group*Time)), data=ads)
Warning message:
In aov(AVAL ~ Group * Time + Error(Subject/(Group * Time)), data = ads) :
   Error() モデルは特異です 
> summary(model)
 
Error: Subject
          Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)  
Group      1  60.17   60.17   11.93 0.0259 *
Residuals  4  20.17    5.04                 
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Error: Subject:Time
           Df Sum Sq Mean Sq F value   Pr(>F)    
Time        3 154.83   51.61  36.078 2.77e-06 ***
Group:Time  3  19.50    6.50   4.544   0.0239 *  
Residuals  12  17.17    1.43                     
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
>

プログラムコード

model <- aov(AVAL ~ Group*Time + Error(Subject/(Group*Time)), data=ads)
summary(model)

SAS

proc glm data=ADS;
    class Subject Group;
    model Time0 - Time4 = Group / nouni;
    repeated Subject ;
run;

参考

Two way repeated measures analysis in R
統計学入門−第4章