ウィルコクソンの符号付き順位検定（Wilcoxon Signed Rank Test）のメモ。
ノンパラメトリックな対応のある差の検定（２時点）。

【目次】

正規近似、T近似について。exactは記載なし。

帰無仮説、対立仮設

・帰無仮説 $H_{0}:$ ２時点に差がない

・対立仮設 $H_{1}:$ ２時点に差がある

計算式等

■ 計算の流れ
① 前後差（変化量）を算出する。
② 前後差の絶対値に平均順位を付ける。前後差ゼロの扱いは手法により異なる。
　 Wilcoxon法：ゼロを除いて平均順位を付ける。
　 Pratt法　　：ゼロを含めて平均順位を付ける。
③ 前後差が正の平均順位和 $T^{+}$ を用いて検定統計量 $S$ を算出し、p値を得る。

■ 期待値・分散
　< Wilcoxon法 >

$\quad E(T)=\dfrac{n(n+1)}{4}$

$\quad V(T)=\dfrac{n(n+1)(2n+1) - 0.5 \sum t_{i}(t_{i}+1)(t_{i}-1)}{24}$

　< Pratt法 >

$\quad E(T)=\dfrac{n(n+1) -t_{0}( t_{0}+1)}{4}$

$\quad V(T)=\dfrac{n(n+1)(2n+1) - t_{0}(t_{0}+1)(2t_{0}+1) - 0.5 \sum t_{i}(t_{i}+1)(t_{i}-1)}{24}$

　※ n=被験者数、 $t_{i}$ =前後差の絶対値のタイ数、 $t_{0}$ =前後差ゼロの数

■ 統計量

$\quad S=T^{+} - E(T)$

　※ $T^{+}$ =前後差が正の平均順位和（Rank Sum）

■ t値、z値

$\quad t=\dfrac{S}{\sqrt{\dfrac{n \cdot V(T)-S^{2}}{n-1}}}$

$\quad z=\dfrac{|S| - Correct}{\sqrt{V(T)}}$

　※ Correct=連続修正。有：0.5、無：0。

計算例

架空データで計算。

① A列とB列が観測値。C列が前後差。

② 前後差の絶対値に平均順位を付ける。Wilcoxon法はD～I列、Pratt法はJ～O列。
　・abs(diff)：前後差の絶対値
　　　D列=IF(C5<>0,ABS(C5),"")
　　　J列=ABS(C5)
　・RANK.AVG：平均順位
　　　E列=IF(C5<>"",RANK.AVG(D5,D:D,1),"")
　　　K列=IF(C5<>"",RANK.AVG(J5,J:J,1),"")
　・Positive RANK.AVG：前後差が正の平均順位
　　　F列=IF(C5>0,RANK.AVG(D5,D:D,1),"")
　　　L列=IF(C5>0,RANK.AVG(J5,J:J,1),"")
　・Negative RANK.AVG：前後差が負の平均順位
　　　G列=IF(C5<0,RANK.AVG(D5,D:D,1),"")
　　　M列=IF(C5<0,RANK.AVG(J5,J:J,1),"")
　・t：タイの数
　　　H列=IF(D5<>"",IF(COUNTIF($E$4:E5, E5)=1, COUNTIF(E:E,E5),""),"")
　　　N列=IF(COUNTIF($K$4:K5, K5)=1, COUNTIF(K:K,K5),"")
　・(t³-t)：タイの補正項用
　　　I列=IF(H5<>"", H5^3-H5, "")
　　　O列=IF(N5<>"", N5^3-N5, "")

③ 前後差が正の平均順位和 $T^{+}$ を用いて検定統計量 $S$ を算出し、p値を得る。
　今回は前後差ゼロを３つ含めたので各手法で結果が異なる。

Rで検算。
coinパッケージのデフォルトは、Pratt法・Z近似のp値を返す。連続修正はなし。
zero.method="Wilcoxon" でWilcoxon法。distribution="exact"でexact。

> library(coin)
> ads0 <- data.frame(
+   before=c(10,13,12,12,20,19,18,13,16,20,10,14,20,17,20,18,20,15,13,20,13,18,17,23,16)
+   ,after=c(17,18,16,15,13,13,18,20,10,19,10,20,16,13,13,18,14,13,17,11,11,17,11,12,12)
+ )
> coin::wilcoxsign_test(before ~ after, data=ads0, zero.method="Wilcoxon", distribution="asymptotic")

    Asymptotic Wilcoxon Signed-Rank Test

data:  y by x (pos, neg) 
     stratified by block
Z = 1.4171, p-value = 0.1564
alternative hypothesis: true mu is not equal to 0

> coin::wilcoxsign_test(before ~ after, data=ads0, zero.method="Pratt", distribution="asymptotic") #--default

    Asymptotic Wilcoxon-Pratt Signed-Rank Test

data:  y by x (pos, neg) 
     stratified by block
Z = 1.4988, p-value = 0.1339
alternative hypothesis: true mu is not equal to 0

プログラムコード

library(coin)

#-- Z近似
coin::wilcoxsign_test(before ~ after, data=ads0, zero.method="Wilcoxon", distribution="asymptotic")
coin::wilcoxsign_test(before ~ after, data=ads0, zero.method="Pratt", distribution="asymptotic") #--default
  
#-- Exact
coin::wilcoxsign_test(before ~ after, data=ads0, zero.method="Wilcoxon", distribution="exact")
coin::wilcoxsign_test(before ~ after, data=ads0, zero.method="Pratt", distribution="exact")

proc univariate data=ads;
    var diff;
    output out=out1 probs=probs;
    ods output TestsForLocation=out2;
run;

SASでは、n<20はexact, n>=20ならWilcoxon法・t近似のp値を返す。
（ただし、JMPはPratt法のよう。）

参考

SAS Help Center
JMP Help
https://support.sas.com/resources/papers/proceedings-archive/SUGI94/Sugi-94-172%20Tian.pdf
Solved: Wilcoxon signed rank test : Test statistic S - JMP User Community
Wilcoxon Test • Simply explained - DATAtab
https://www.sciencedirect.com/topics/mathematics/wilcoxon-signed-rank-test

こちにぃるの日記

【統計】ウィルコクソンの符号付き順位検定（Wilcoxon Signed Rank Test）

帰無仮説、対立仮設

計算式等

計算例

プログラムコード

参考