KFAS（カルマンフィルタ＆スムーザ）での状態空間モデルについてのメモ。
まとめておきたかったが、ずっと手を付けられず。。
分かっていない部分も多いのであくまで個人備忘録として。
個人的に野村先生の書籍が大変参考になった。

【目次】

状態空間モデル（State Space Model）

時系列データを解析することができる統計手法。
時点間の相関をデザインすることができ、将来予測にも用いることができる。

状態空間モデルでは、実際に得られる観測値と本来の状態を、それぞれ『観測モデル（観測方程式）』と『状態モデル（状態方程式）』に分けてモデリングする。
以下概念図の通り、本来の状態から何かしらのノイズが加わって観測値が得られる。

なお、推定目的によって、以下の用語の使い分けがあるとのこと。
・フィルタ（filtering）：現在の状態を推定する。
・平滑化（smoothing）：過去の状態を推定する。欠損値も推定。
・予測（forecasting）：将来の状態を推定する。

KFASでの実装

KFASでの実装は、Modeling ⇒ Fitting ⇒ Filtering&Smoothing の順で行い、それぞれ SSModel，fitSSM，KFS関数を使用する。
以下はローカルレベルモデルの実装例。SSMtrend関数でトレンド成分を設定する。

library(KFAS)
mod1 <- SSModel(ADS$Y ~ SSMtrend(1, Q=NA), H=NA))
fit1 <- fitSSM(mod1, inits=numeric(2), method="BFGS")
kfs1 <- KFS(fit1$model, smoothing=c("state","mean"))

季節成分や回帰成分（外生変数）を含める場合は、SSMseasonal関数と SSMregression関数で設定する。
また、AR成分もSSMarima関数で設定できるようだが、SSMarimaは使用したことはない。

library(KFAS)
mod1 <- SSModel(ADS$Y ~ SSMtrend(1, Q=NA)
                          + SSMseasonal(12, Q=NA)
                          + SSMregression(~ ADS$VAR1 + ADS$VAR2, Q=NA)
                          ,H=NA)
fit1 <- fitSSM(mod1, inits=numeric(4), method="BFGS")
kfs1 <- KFS(fit1$model, smoothing=c("state","mean"))

KFASの特徴は、ポアソン分布や二項分布などの正規分布（ガウシアン）以外も使用できることにある。
以下はポアソン分布を指定した例。シミュレーションが入るのでPCが弱々だと厳しい・・・

mod1p <- SSModel(ADTS$CNT ~ SSMtrend(1, Q=NA)
                 + SSMseasonal(12, Q=NA)
                 + SSMregression(~ ADTS$TEMP, Q=NA)
                 ,distribution="poisson"
                 ,u=1)
fit1p <- fitSSM(mod1p, inits=numeric(3), method="BFGS", nsim=1000)
kfs1p <- KFS(fit1p$model, nsim=1000)

状態空間モデルで扱われるトレンド成分モデル

■ ローカルレベルモデル

上記概念図で示した期待値がランダムウォークすると仮定したモデル。
「１時点前の期待値＋ホワイトノイズ」。
$\quad y _{t}= \mu _{t} + \varepsilon _{t} \ , \ \varepsilon_{t}\sim 𝑁(0, H)$
$\quad \mu _{t}=\mu _{t-1}+\eta _{t-1} \ , \ \eta _{t-1}\sim 𝑁(0, 𝑄)$

mod1 <- SSModel(ADS$Y ~ SSMtrend(1, Q=NA), H=NA)
fit1 <- fitSSM(mod1, inits=numeric(2), method="BFGS")
kfs1 <- KFS(fit1$model, smoothing=c("state","mean"))

■ 平滑化トレンドモデル

傾きがランダムウォークすると仮定したモデル。
「１時点前と２時点前の階差系列＋ホワイトノイズ」。
$\quad y _{t}= \mu _{t} + \varepsilon _{t} \ , \ \varepsilon_{t}\sim 𝑁(0, H)$
$\quad \mu _{t}=\mu _{t-1} + (\Delta \mu _{t-1} + \eta _{t-1}) \ , \ \eta _{t-1}\sim 𝑁(0, 𝑄)$
$\quad \Delta \mu _{t-1} = \mu _{t-1} - \mu _{t-2}$

mod1 <- SSModel(ADS$Y ~ SSMtrend(2, Q=list(0,NA)), H=NA)
fit1 <- fitSSM(mod1, inits=numeric(2), method="BFGS")
kfs1 <- KFS(fit1$model, smoothing=c("state","mean"))

■ ローカル線形トレンドモデル

期待値と傾き両方がランダムウォークすると仮定したモデル。
$\quad y _{t}= \mu _{t} + \varepsilon _{t} \ , \ \varepsilon_{t}\sim 𝑁(0, H)$
$\quad \mu _{t}=(\mu _{t-1} + \eta _{t-1,1}) + (\Delta \mu _{t-1} + \eta _{t-1,2}) \ , \ \eta _{t-1,1}\sim 𝑁(0, 𝑄1) \ , \ \eta _{t-1,2}\sim 𝑁(0, 𝑄2)$
$\quad \Delta \mu _{t-1} = \mu _{t-1} - \mu _{t-2}$

mod1 <- SSModel(ADS$Y ~ SSMtrend(2, Q=list(NA,NA)), H=NA)
fit1 <- fitSSM(mod1, inits=numeric(3), method="BFGS")
kfs1 <- KFS(fit1$model, smoothing=c("state","mean"))