フリードマン検定（Friedman test）のメモ。
ノンパラメトリックな対応のある差の検定（３時点以上）。

【目次】

帰無仮説、対立仮設

・帰無仮説 $H_{0}:$ すべての時点に差がない

・対立仮設 $H_{1}:$ 何れかの時点に差がある

計算式等

$\quad Q=\dfrac{12}{nk\left( k+1\right) }\sum_{i=1}^{k}r_{i}^{2}-3n\left( k+1\right)$

$\quad Q'=Q / C$

$\quad C=1-\dfrac{\sum _{i=1}^{n}\left\{ t_{i}\left( ti^{2}-1\right) \right\} }{nk\left( k^{2}-1\right)}$

　※ n=被験者数、k=時点数、t=タイ数、r=順位の合計（Rank Sum）
　※ Q'はタイ補正済みの統計量

計算例

架空データで計算。

被験者毎に平均順位を算出。
平均順位にタイがあれば t (t^2-1)を計算。
※表中のSubject=106のように同一被験者内でタイが複数あればその分計算する。106は10が2つ、11が3つタイなので 2(2^2-1)+3(3^2-1) = 6 + 24 。
時点毎に順位の合計（Rank Sum）を算出。
上記で式を示したQ統計量を算出。
Q統計量でカイ二乗検定を実施。時点数-1のカイ二乗分布に従う。

Rで検算。

> ads <- matrix(c(
+   10,12,14,15,16,
+   11,12,13,12,11,
+   8,10,12,11,9,
+   10,15,20,21,21,
+   13,13,15,16,17,
+   10,10,11,11,11,
+   10,10,10,11,11,
+   10,10,10,10,11,
+   10,10,10,10,10,
+   10,10,11,12,12
+   ), byrow=T, ncol=5)
> friedman.test(ads)

    Friedman rank sum test

data:  ads
Friedman chi-squared = 20.987, df = 4, p-value = 0.0003186

プログラムコード

friedman.test(ads)  #-- Matrix型を与える。

proc freq data=ADS;
    tables Subject*Time*AVAL / cmh2 scores=rank noprint;
run;

今回のサンプルデータで算出してみるとRもSASもタイ補正済みの結果が出力されるよう。
SASはSCORES=RANKのANOVA (行平均スコア) CMH統計量がFriedman検定結果。

参考

https://www.sas.com/offices/asiapacific/japan/service/help/pdf/v94/procstat.pdf
フリードマンの順位検定 | 感性・官能評価システム J-SEMS
【例題で解説】フリードマン検定｜Staat

こちにぃるの日記

【統計】フリードマン検定（Friedman test）

帰無仮説、対立仮設

計算式等

計算例

プログラムコード

参考