計算式

Wald (正規近似を用いた方法)
$\quad \widehat{p}\pm z\sqrt{\dfrac{\widehat{p}\left( 1-\widehat{p}\right) }{n}}$

二項分布 B (n, p) は n が十分大きいとき、平均 np , 分散 np(1-p) の正規分布に近づく（ラプラスの定理）。一般的に、np>5 かつ n(1-p)>5 の場合を n が十分に大きいと考えるようである。

n が十分に大きくない場合は近似が悪い。また、０や１の両端も近似が悪いので不均衡データ（Imbalanced Data）に注意が必要となる。

Clopper-pearson (F分布を用いた方法)
$\quad Lower = \Biggl( 1+ \dfrac{n-x+1}{(x)F\bigl( 1-\frac{\alpha}{2}; \ 2(x) , \ 2(n-x+1) \bigr) } \Biggr)^{-1}$
$\quad Upper = \Biggl( 1+ \dfrac{n-x}{(x+1)F\bigl( \frac{\alpha}{2}; \ 2(x+1) , \ 2(n-x) \bigr) } \Biggr)^{-1}$

二項分布（離散確率分布）をベータ分布（連続値型確率分布）に拡張し、F分布で表したものを利用した信頼区間。

計算例

Wald
=D4-NORM.S.INV(1-G4/2)*SQRT(D4*(1-D4)/C4)
=D4+NORM.S.INV(1-G4/2)*SQRT(D4*(1-D4)/C4)

Clopper-pearson
=(1+(C4-B4+1)/(B4*F.INV.RT(1-G5*0.5, 2*B4, 2*(C4-B4+1))))^-1
=(1+(C4-B4)/((B4+1)*F.INV.RT(G5*0.5, 2*(B4+1), 2*(C4-B4))))^-1

コード

library(DescTools)
DescTools::BinomCI(x, n, conf.level=.95,method=c("wald"))
DescTools::BinomCI(x, n, conf.level=.95,method=c("clopper-pearson"))

proc freq data=ADS;
    tables YN / binomial;
    weight CNT / zeros;
run;

被覆確率 (Coverage Probability)

被覆確率（信頼区間が真の値を含む確率）を調べてみる。
p = ０～１を 0.01 刻みで、二項分布 B(n, p) に従う乱数を100個ずつ生成（PCのスペックがないのでこのくらいで）。
n = 10, 100, 1000 の３種類を試してみる。

被覆確率 (Coverage Probability) をグラフ化し、95％のところに横線を引いている。
n が小さいとき、Waldは被覆確率95％を大きく下回る。両端の不均衡データにあたる部分でその傾向が大きく見られる。
Clopper-pearsonは n が小さくても95%から大きく下回ることはなさそう。