【統計】Fisher's exact test - こちにぃるの日記

Fisher's exact testについて。

【目次】

帰無仮説、対立仮設
計算式等
計算例
プログラムコード
参考

Fisher's Exact testは $χ^{2}$ 検定と同じく、カテゴリーデータの独立性を評価する手法。

cochineal19.hatenablog.com

帰無仮説、対立仮設

帰無仮説 $H_{0}: P_{1}=P_{2}$
対立仮設 $H_{1}: P_{1}\neq P_{2}$

要因と結果の間に関係がないか（独立であるか）を評価する。

計算式等

次のクロス表で考える。

■ 観測度数

		Outcome		Total
		(+)	(-)	Total
Factor	1	a	b	AB
Factor	2	c	d	CD
Total		AC	BD	N

$\quad p_{i}=\dfrac{AB!×CD!×AC!×BD!}{N!×a!×b!×c!×d!}$

$\quad p=\sum p_{i}\quad\verb| ( if | p_{i} \leqq \verb|Cut off )|$

計算例

$\chi^{2}$ 検定では、 $\chi^{2}$ 統計量（期待度数と観測度数のズレ）を算出し、 $\chi^{2}$ 分布を使って p値を導出する。一方、Fisher's exact test は、統計量を算出して確率分布に近似するのではなく、直接 p値を求める方法。そのため直接確率検定とも呼ばれる。

簡単なデータを用いて計算方法を確認。
$\chi^{2}$ 検定の記事で使った次のクロス表を用いる。

■ 観測度数

		肺がん		Total
		(+)	(-)	Total
喫煙	有	28	12	40
喫煙	無	17	25	42
Total		45	37	82

先ず、この観測度数が起きる確率を求める。
当該確率は、次のステップでカットオフ値として用いる。

$\quad \verb|Cut off|=\dfrac{ 40!×42!×45!×37! }{ 82!×28!×12!×17!×25! }≒0.00493$

次に、周辺度数（AB、CD、AC、BD）を固定した場合に観測度数が取り得る全パターンを列挙し、生起確率を求める。
今回は次のパターンが列挙される。このうち、( $p_{i} \leqq \verb|Cut off|$ ) が "Y" になっている部分（背景ピンク色の行）が、カットオフ値以下の確率（観測パターンとそれより珍しいパターン）。

最後に、カットオフ値以下の確率を総和することでp値を導出する。

$\quad p=\sum p_{i}≒0.008564$

なお、上表の黄色セルが上下にあるとおり本計算は両側検定。

Rでの実行：

> mtx1 <- matrix(c(28, 12, 17, 25), nrow=2, byrow=TRUE)
> fisher.test(mtx1)

	Fisher's Exact Test for Count Data

data:  mtx1
p-value = 0.008564
alternative hypothesis: true odds ratio is not equal to 1
95 percent confidence interval:
 1.256537 9.512684
sample estimates:
odds ratio 
  3.377065

SASでの実行：

data ads;
input FACTOR OUTCOME CNT;
datalines;
1 1 28
1 0 12
0 1 17
0 0 25
;
run;
proc freq data=ads;
  table FACTOR * OUTCOME / chisq exact nocol nopercent;
  weight CNT / zeros;
  output out=Outds chisq exact;
run;

f:id:cochineal19:20201219150829p:plain

プログラムコード

■ Rのコード

fisher.test(mtx1)

■ SASのコード

proc freq data=[InputDS];
  table Factor * Outcome / fisher nocol nopercent;
  weight Count / zeros;
  exact fisher;   /* 2*2以上の表に検定を要求できる */
  output out=[OutputDS] fisher; /* XP2_FISHを取得。*/
run;

■ Pythonのコード