【統計】マンテル・ヘンツェルの検定（Mantel-Haenszel test, Cochran-Mantel-Haenszel test）

マンテル・ヘンツェルの検定（Mantel-Haenszel test）について。

【目次】

帰無仮説、対立仮設
計算式等
計算例
プログラムコード
CochranとMantel and Haenszelの違い
参考

マンテル・ヘンツェルの検定は、 $\chi^{2}$ 検定やFisher's Exact testと同じく、カテゴリーデータの独立性を評価する手法であり、多層のクロス表の層別解析を行うことができる。

この検定は、Mantel and Haenszel (1959) が開発した手法。
同様の方法を Cochran (1954) も提案しており、彼らの名前から Cochran-Mantel-Haenszel test（CMH検定）とも呼ばれる。
本記事では、マンテル・ヘンツェルの検定と呼称。

帰無仮説、対立仮設

帰無仮説 $H_{0}: OR_{1}=OR_{2}=\ldots =OR_{k}=1$
対立仮設 $H_{1}:$ 少なくとも１つが $OR_{k}≠1$

　※OR=Odds Rate（オッズ比）、k=Subgroup（層別因子）

計算式等

次のクロス表が k層あると仮定して考える。

■ 観測度数

		Outcome		Total
		(+)	(-)	Total
Factor	1	a	b	AB
Factor	2	c	d	CD
Total		AC	BD	N

$\chi _{MH}^{2}$ 統計量（CMH統計量とも言う） :

$\quad \chi _{MH}^{2}=\dfrac{\left(| \sum \left( a_{i}-\dfrac{AB_{i}×AC_{i}}{N_{i}}\right)| - Correct \right) ^{2}}{\sum \left( \dfrac{AB_{i}×CD_{i}×AC_{i}×BD_{i}}{N_{i}^{3} - N_{i}^{2}}\right) }$

共通オッズ比（Common OR） :

$\quad \widehat{OR}_{MH}=\dfrac{\sum \left( \dfrac{a_{i}× d_{i}}{Ni}\right) }{\sum \left( \dfrac{b_{i} × c_{i}}{Ni}\right) }$

共通オッズ比の信頼区間 :

$\quad \widehat{OR_{MH}}\times{ exp \left(±1 \times z_{1 - \alpha/2} \times \sqrt{Var\left( logOR_{MH} \right)}\ \right)}$

$\quad \widehat{OR_{MH}}\times{ exp \left(±1 \times 1.96 \times \sqrt{Var\left( logOR_{MH} \right)}\ \right)}$ 　※95%信頼区間

　ただし、

$\quad Var\left( logOR_{MH} \right) = \dfrac{\sum \left( A_{i}×C_{i} \right)}{2\left( \sum C_{i}\right) ^{2}} + \dfrac{\sum \left( A_{i}\times D_{i}+B_{i}\times C_{i}\right) }{2\left( \sum C_{i}\right) \left( \sum D_{i}\right)} + \dfrac{\sum \left( B_{i}\times D_{i}\right) }{2\left( \sum D_{i}\right) ^{2}}$

$\quad A = \dfrac{a + d}{n},\ B = \dfrac{b + c}{n},\ C = \dfrac{a \times d}{n},\ D = \dfrac{b \times c}{n}$

$\chi _{MH}^{2}$ 統計量や共通オッズ比は、交絡因子で層別解析した結果を統計学的に併合したもの。この併合手法をマンテル・ヘンツェル法と言う。

計算例

簡単なデータで計算方法を確認。
年齢で層別化した遺伝子Xと病気Yのクロス集計表（架空データ）を用いる。
（年齢を交絡因子として扱う）

■ 観測度数

年齢	遺伝子X	病気Y		Total
年齢	遺伝子X	(+)	(-)	Total
< 40	有	10	40	50
	無	50	100	150
	Total	60	140	200
40-59	有	150	50	200
	無	50	20	70
	Total	200	70	270
60 <	有	50	50	100
	無	50	50	100
	Total	100	100	200
All	有	210	140	350
	無	150	170	320
	Total	360	310	670

今回の架空データの全体表について単純に $χ^{2}$ 検定を行うと、 $χ^{2}=11.0612,\ p=0.000882$ となり、遺伝子Xと病気Yの間に有意な関係がありそうだという結論になる。

マンテル・ヘンツェルの検定を行ってみる。
Excel でデータを横持ちにして、層別解析したものが次の図。

f:id:cochineal19:20201209221310p:plain — マンテル・ヘンツェルの検定（CMH検定）

$\chi _{MH}^{2}$ 統計量および $\chi^{2}$ 検定（自由度=1)による p値：

$\quad \chi_{MH}^{2} = 0.2301 \left( p=0.63142 \right)（連続修正あり）$
$\quad \chi_{MH}^{2} = 0.3252 \left( p=0.56847 \right)（連続修正なし）$

共通オッズ比、およびその95%信頼区間：

$\quad \widehat{OR}_{MH} = 0.900875　[ 0.6296054,\ 1.2890219]$

全体表の $χ^{2}$ 検定で有意だった結果から一変して、マンテル・ヘンツェルの検定（年齢で調整したデータ全体の独立性検定）では p値が0.05を上回り、統計学的に有意ではないという結論になった。
共通オッズ比も１を下回り、95％信頼区間も１を挟んでいるため、遺伝子Xと病気Yの間に有意な関係性を見出すことはできない。

今回の場合、例えば40-59歳は遺伝子Xの有無問わず病気Yの発生が多いと見られるため、遺伝子Xに直接の要因はなく、年齢やそれに伴う生活習慣などが要因にあたるのかもしれない。

このように、コントロール可能な交絡因子が考えられる場合、単に $\chi^{2}$ 検定やFisher's exact 検定をするのでなく、層別解析を行うことはとても有用。

Rでの実行：

> mymtx1 <- matrix(c( 10, 40, 50, 100), nrow=2, byrow=TRUE)
> mymtx2 <- matrix(c(150, 50, 50,  20), nrow=2, byrow=TRUE)
> mymtx3 <- matrix(c( 50, 50, 50,  50), nrow=2, byrow=TRUE)
> mymtx  <- array(c(mymtx1, mymtx2, mymtx3), dim=c(2,2,3))
> 
> mantelhaen.test(mymtx, correct=T)

	Mantel-Haenszel chi-squared test with continuity correction

data:  mymtx
Mantel-Haenszel X-squared = 0.23013, df = 1, p-value = 0.6314
alternative hypothesis: true common odds ratio is not equal to 1
95 percent confidence interval:
 0.6296054 1.2890219
sample estimates:
common odds ratio 
        0.9008746 

> mantelhaen.test(mymtx, correct=F)

	Mantel-Haenszel chi-squared test without continuity correction

data:  mymtx
Mantel-Haenszel X-squared = 0.32524, df = 1, p-value = 0.5685
alternative hypothesis: true common odds ratio is not equal to 1
95 percent confidence interval:
 0.6296054 1.2890219
sample estimates:
common odds ratio 
        0.9008746

SASでの実行：

data ads;
input AGEGR1N GENOTYPE OUTCOME CNT @@;
datalines;
1 0 0 10 1 1 0 50 1 0 1 40 1 1 1 100
2 0 0 150 2 1 0 50 2 0 1 50 2 1 1 20
3 0 0 50 3 1 0 50 3 0 1 50 3 1 1 50
;
run;
proc freq data=ads;
  table AGEGR1N * GENOTYPE * OUTCOME / cmh nocol nopercent;
  weight CNT / zeros;
run;

f:id:cochineal19:20201219122514p:plain

プログラムコード

■ Rのコード

mantelhaen.test(mymtx, correct=T) #-- correct T:連続修正あり、F:連続修正なし

■ SASのコード

proc freq data=[InputDS];
  table Subgroup * Factor * Outcome / cmh nocol nopercent;
  weight Count / zeros;
  output out=[OutputDS] cmh;
run;

■ Pythonのコード

整備中

CochranとMantel and Haenszelの違い

Cochran (1954) の方法と Mantel and Haenszel (1959) の方法は統計量の計算に違いがあり、若干数値が異なるようだった。気にするレベルではない？
なお、RもSASも Mantel and Haenszelの統計量のようだった。

Mantel and Haenszelの統計量（ $\chi _{MH}^{2}$ 統計量）
＜再掲＞

Cochranの統計量

$\quad \chi _{cochran}^{2}=\dfrac{\sum \left( \dfrac{a_{i} \times d_{i} - b_{i} \times c_{i}}{N_{i}}\right) ^{2}}{\sum \left( \dfrac{AB_{i}×CD_{i}×AC_{i}×BD_{i}}{\left( N_{i} - 1 \right) \times N_{i}^{2}}\right) }$