【統計】χ二乗検定 - こちにぃるの日記

独立性の $\chi^{2}$ 検定について。

【目次】

帰無仮説、対立仮設
計算式等
ノート
プログラムコード
Cochran's rule
参考

$\chi^{2}$ 検定はカテゴリデータのクロス表（分割表、クロステーブル）で用いられる検定。

帰無仮説、対立仮設

帰無仮説 $H_{0}: P_{1}=P_{2}$
対立仮設 $H_{1}: P_{1}\neq P_{2}$

要因と結果の間に関係がないか（独立であるか）を評価する。

計算式等

次のクロス表で考える。

■ 観測度数

		Outcome		Total
		(+)	(-)	Total
Factor	1	a	b	AB
Factor	2	c	d	CD
Total		AC	BD	N

■ 期待度数

		Outcome
		(+)	(-)
Factor	1	$\dfrac{AB\times AC}{N}$	$\dfrac{AB\times BD}{N}$
Factor	2	$\dfrac{CD\times AC}{N}$	$\dfrac{CD\times BD}{N}$

■ $\chi^{2}$ 統計量

$\quad \chi^{2} = \Sigma _{i=1}^{r}\Sigma _{j=1}^{c}\dfrac{\left( max \left( ❘ O_{ij} - E_{ij} ❘ - Correct,\ 0 \right) \right) ^{2}}{E_{ij}}$

　自由度= $\left( r - 1 \right)\left( c - 1 \right)$
　※r=行数、c=列数、Correct=連続修正（有の場合 0.5、無の場合 0）

ノート

期待度数は、要因と結果の間に関係がない時（独立である時）に取り得る理論値。
$\chi^{2}$ 検定では、この期待度数と観測度数の差（理論値と実際の値のズレ）を見ており、このズレが大きいほど独立の仮定から離れていく。
（ズレが大きいほど $\chi^{2}$ 統計量は大きくなり、p値が小さくなる。）

簡単なデータで計算方法を確認。
今回は、喫煙有無と肺がんの関係性という良くある例で、観測度数が下表のとおりだったとする。架空データ。

■ 観測度数

		肺がん		Total
		(+)	(-)	Total
喫煙	有	28	12	40
喫煙	無	17	25	42
Total		45	37	82

この期待度数を計算すると下表のとおり。

■ 期待度数

		肺がん
		(+)	(-)
喫煙	有	$\dfrac{40×45}{82}≒21.951$	$\dfrac{40×37}{82}≒18.049$
喫煙	無	$\dfrac{42×45}{82}≒23.049$	$\dfrac{42×37}{82}≒18.951$

観測度数と期待度数から $\chi^{2}$ 統計量を計算する。

■ $\chi^{2}$ 統計量

		肺がん
		(+)	(-)
喫煙	有	$\dfrac{\left(28-21.951\right)^{2}}{21.951}≒1.667$	$\dfrac{\left(12-18.049\right)^{2}}{18.049}≒2.027$
喫煙	無	$\dfrac{\left(17-23.049\right)^{2}}{23.049}≒1.587$	$\dfrac{\left(25-18.951\right)^{2}}{18.951}≒1.931$

上の表を総和したものが $\chi^{2}$ 統計量（連続修正なし）。

$\quad \chi^{2}=1.667+2.027+1.587+1.931≒7.212$

また、連続修正ありの場合は次のとおり。

$\quad \chi^{2}=1.403+1.706+1.336+1.625≒6.0689$

今回のクロス表は2×2表のため、自由度=1 の $\chi^{2}$ 分布のもと、p値は次のようになります。

　p≒0.007242（連続修正なし）
　p≒0.01376 （連続修正あり）

Rでの実行：

> mtx1 <- matrix(c(28, 12, 17, 25), nrow=2, byrow=TRUE)
> chisq.test(mtx1, correct=F)

	Pearson's Chi-squared test

data:  mtx1
X-squared = 7.212, df = 1, p-value = 0.007242

> chisq.test(mtx1, correct=T)

	Pearson's Chi-squared test with Yates' continuity correction

data:  mtx1
X-squared = 6.0689, df = 1, p-value = 0.01376

SASでの実行：

data ads;
input FACTOR OUTCOME CNT;
datalines;
1 1 28
1 0 12
0 1 17
0 0 25
;
run;
proc freq data=ads;
  table FACTOR * OUTCOME / chisq nocol nopercent;
  weight CNT / zeros;
  output out=Outds chisq;
run;

f:id:cochineal19:20201219150829p:plain

プログラムコード

■ Rのコード

chisq.test(mtx1, correct=T) #--correctで連続修正

■ SASのコード

proc freq data=[InputDS];
  table Outcome * Factor / chisq nocol nopercent;
  weight Count / zeros;
  output out=[OutputDS] chisq; /*連続修正無:_PCHI_,P_PCHI, 有:_AJCHI_,P_AJCHIを取得*/
run;

■ Pythonのコード