Wilcoxonの順位和検定（Wilcoxon rank sum test）とマンホイットニーのU検定（Mann–Whitney U test）について。
【目次】
両方とも２標本の分布の位置のズレを評価するノンパラメトリックな手法。
これらは等価な手法であり、同じ結果が得られる。
一方、パラメトリックな手法としては t検定が代表的。
帰無仮説、対立仮設
- 帰無仮説
２標本の確率分布に差がない（ズレていない）。
- 対立仮設
２標本の確率分布に差がある（ズレている）。
※２標本は同じ形状の確率分布であるという前提で、分布の位置のズレを見ている。正規分布に依存しないのが特徴。
計算式等
Wilcoxonの順位和検定とマンホイットニーのU検定は等価であり、同じ結果が得られるが、統計量と期待値に違いがある。
順位和
統計量の算出前に、先ず、比較したい２標本の観測値に全体順位（Rank）をつけて、標本ごとの合計（順位和）を算出する。観測値にタイ（同一順位）がある場合は、順位の平均値をつける。
※以降、本記事では標本をA、B、順位和を、
とする。
Wilcoxonの順位和検定
マンホイットニーのU検定
Wilcoxonの順位和検定もマンホイットニーのU検定も分散は同じ。
分散の第２項の はタイ（同一順位）の補正項であり、式中の t が同一値の個数を示す。
例えば、{10,10,11,12,12,12} のデータがあるとき、10が２つ、11が１つ、12が３つになるため、それぞれ となり、
の計算で
になる。
タイがない数値は解が０になり、タイにだけ働くことが分かる（タイがまったくない場合は第２項の解全体が０）。
計算例
今回は次の架空データAとBを比較してみる。
A {4, 9, 10, 11, 12, 13, 13, 15, 18, 18, 20}
B {16, 16, 17, 19, 19, 22, 22, 23, 25}
Excelでの計算。
Excelの簡単な説明。
・A列：標本のグループ名
・B列：観測値。小さい順にならべている。
・C列：同値の数を上から数ている（セルC4：=IF(B3<>B4,1,D3+1)）。
・D列：同値の最終行のみ表示している（セルD4：=IF(B4=B5,"",C4)）。
・E列：分散の補正項用（セルE4：=IF(D4<>"",D4^3-D4,"")）
・G列：標本Aの順位（セルG4：=IF($A4=G$3, RANK.AVG($B4,$B:$B,1), "")）
・H列：標本Bの順位（セルH4：=IF($A4=H$3, RANK.AVG($B4,$B:$B,1), "")）
Wilcoxonの順位検定の場合
- W：順位和
だったため、
（小さい方）をWとする。
- 期待値：
の方が小さいため、次の式で計算する。
- 分散：タイがあるため補正（E列およびK15参照）した値を導出する。
- z値：z= (77-115.5)/sqrt(172.6) = -38.5/sqrt(172.6) = -2.93050。
- p値：標準正規分布を使って p=0.00338。
（セルN23：=2*(1-NORM.S.DIST(ABS(N22),TRUE)) ）
マンホイットニーのU検定の場合
- U：
だったため、
（小さい方）をUとする。
- 期待値：計算式のとおり (11×9)/2 = 49.5。
- 分散：Wilcoxonと同じ。タイを補正した値を導出する。
- z値：z= (11-49.5)/sqrt(172.6) = -38.5/sqrt(172.6) = -2.93050。
- p値：標準正規分布を使って p=0.00338。
（セルK23：=2*(1-NORM.S.DIST(ABS(K22),TRUE))）
z値の導出過程で、Wilcoxonもマンホイットニーも「-38.5/sqrt(172.6)」となり、等価になることが分る。どちらの検定も今回の架空データでは２標本に差があり（p<0.01）。
Rでの実行：
> ads <- data.frame(
+ TRT01P <- c("A","A","A","A","A","A","A","A","B","B","B","A","A","B","B","A","B","B","B","B")
+ ,AVAL <- c(4,9,10,11,12,13,13,15,16,16,17,18,18,19,19,20,22,22,23,25)
+ )
> ads$TRT01PF <- factor(ads$TRT01P)
> wilcox_test(AVAL ~ TRT01PF, data=ads, method="exact")
Asymptotic Wilcoxon-Mann-Whitney Test
data: AVAL by TRT01PF (A, B)
Z = -2.9305, p-value = 0.003384
alternative hypothesis: true mu is not equal to 0
Rのデフォルトで使えるwilcoxon.testは値が全然一致しない。詳細不明。
coinパッケージのwilcoxon_testを使った方が良い。
SASでの実行：
data ads;
do AVAL = 4,9,10,11,12,13,13,15,18,18,20; TRT01PN=1; output; end;
do AVAL = 16,16,17,19,19,22,22,23,25; TRT01PN=2; output; end;
run;
proc sort data=ads: by AVAL TRT01PN; run;
proc npar1way data=ads wilcoxon correct=no /*今回は連続修正なし*/;
class TRT01PN;
var AVAL;
run;
z値の符号が逆転しているが、Pr > |z| なのでp値は同じ。
SAS社のサイトに詳細がないので不明だが、
T近似のp値は、おそらくz統計量と自由度N-1で算出している。
= T.DIST.2T(2.9305, 20-1) ≒ 0.008583004
プログラムコード
■ Rのコード
library(coin)
wilcox_test(AVAL ~ TRT01PF, data=ads, method="exact")
■ SASのコード
proc npar1way data=[InputDS] wilcoxon correct=no /*連続修正無の場合correct=noを追加*/;
class TRT01PN;
var AVAL;
output out = [OutDS] wilcoxon; /* Z_WIL, P2_WILを取得。*/
run;
■ Pythonのコード
整備中
W統計量とU統計量の関係
W統計量とU統計量には次の関係があり等価。
<再掲>
Wilcoxonの順位和検定
マンホイットニーのU検定
なお、本検定は同じ形状の確率分布のズレを見ているため、２標本の確率分布が同じ形であれば平均に差があると解釈ができる。
参考
http://ex.osaka-kyoiku.ac.jp/~fujii/fujiwara/C/np/WU1.pdf
http://ex.osaka-kyoiku.ac.jp/~fujii/fujiwara/C/np/Wsyoumei.pdf
https://www.sas.com/content/dam/SAS/ja_jp/doc/event/sas-user-groups/usergroups2015-b-03.pdf
https://support.sas.com/documentation/onlinedoc/stat/142/npar1way.pdf
